MATE 251-A için 1

MATH 345 1.Vize

January 16, 2006

Uyarı: Hesap makinası, normal dağılım tablosu ve 2 sayfalık özet bilgilerini kullanmak serbest. Karalama hesaplamalarınızı yaptıktan sonra soruların arasındaki boşluğa düzenli birsekilde cevaplarınızı yazınız. Yetmemesi durumunda arka sayfaya soru numarısını yazarak devam edebilirsiniz.

Sorular

1. Populer bir radyo istasyonuna açılan bir telefonun bağlanma ihtimali 0.03. Aramalar birbirinden bağımsızdır.

(a) 15. aramada bağlanma ihtimali kaçtır?

(b) 7 den az aramada bağlanma ihtimali kaçtır?

(d) 3. bağlanmanın 15. aramada olması ihtimali kaçtır?

Çözüm:(15P)

a) 15. aramada bağlanma ihtimali problemi bir geometrik dağılım problemidir. Çünkü 15. aramada ilk başarıyı elde etme ihtimali soruluyor. O halde

d) Bu problem başarı sayısın 1 den fazla elde edilmesini 15. aramada istediğinden dolayı negatif binom dağılımı özelliğindedir. O halde

2. Otamatik dolum yapan makina 4 dolum hatasında otamatik olarak durmaktadır. Makinanın hata yapma ihtimali 0,0015 dir. Ve herbir dolum birbirinden bağımsızdır.

(a) Ortalama kaç dolum sonra makina duracaktır?

(b) Makina durmadan önceki dolumların standard sapması kaçtır?

Çözüm (15p)

a) Dolumlar birbirinden bağımsız olduklarından ve makina toplam 4 dolum hatası sonra otamatik olarak durduğundan her bir hata nın rastgele değişkeni bir diğrinden bağımsızdır. Makinanın durma şartı dolum 4 dolum hatası olduğundan matematiksel başarıyı dolum hatası olarak kabul edersek bu başarının dağılımı negatf binom olur. O halde negatif binom dağılımının beklenen değeri

E(X)=4/0,0015

E(X)=2666,67

Olarak bulunur.

3. Bir fabrikadan çıkan ürün için hata ürün başına ortalama 0,01 ile poisson dağılımlıdır.

(a) 100 adet üründen 3 ve 3 den az hatanın olması ihtimali kaçtır?

(b) fabrikadan çıkan 100 adet üründen beklenen hatalı ürün sayısı kaçtır?(bir üründe 1 ve 1 den fazla hata olabilir)

Çözüm:(15p)

a) Burada ile Poisson dağılımlıdır. O halde ürün başına hata 0,001 ise 100 ürün için hata 1 dir. Buradan

dır. Hatanın 3 ve 3 den az olması ihtimali ise

b) 100 sayfa için beklenen hata değerini yukarıda hesaplamıştık. Burada ise beklenen hatalı ürün sayısı sorulmaktadır. Bir üründe 1 ve 1 den fazla da hata olabileceğinden bu sayının beklenen hata değerinden farklı da olabilir. Çünkü hatalı ürün ile hata birbirinden farklı rastgele değişkenlerdir. Bu değişkenlerden hata ürünlerdeki hatayı sayarken, hatalı ürün rastgele değişkeni hatalı ürünü saymaktadır. Bir ürün, tek hata ile hatalı olabilceği gibi sonsuz hata ile de aynı ürün sadece hatalı olur. Yani hatalı ürün rastgele değişkenimiz için saymaya başlarsak önümüze 2 hatalı ürünüde çıksa BİR diyeceğiz 1 hatalı üründe ciksa BİR diyeceğiz. Şimdi bu problemi çözmek için şu akıl yurutmeyi yapalım. 100 adet üründen hatasız ürünleri ayırsam geriye hatalı ürünler kalacaktır. Peki ben hatasız ürünleri nasıl tesbit edebilirim? Şayet 1 üründe hata olmama ihtimalini bilirsem ben 100 ürün içerisinde hatasiz ürünlerin hatalı ürünlere oranını biliyorum demektir. Bu orandan hatalı ürünlerin oranını bulurum ve bu oranı 100 ile çarparsam hatalı ürünlerin beklenen değerini bulabilirim. Bir ürün için hatanin ihtimal dağılım fonksiyonu

Olduğundan hatalı ürünlerin hatasızlara nispeti yaklaşık %1 dir. O halde bir ürün için hatalı ürünün beklenen değeri yaklaşık 0,01 dir. Ve 100 ürün için bu rakam YAKLAŞIK 1 dir. Normalde 1 den azdır. Bu sayıyı 100 değilde 10000 alsa idik hatalı ürün sayısının beklenen değeri yaklaşık 99 olacak AMA beklenen hata sayısı ise 100 olacaktı. Yani rakam 100 olduğundan bu ayrıntı görülemiyor.

4. Bir ürünün montaj süresi f(x)=0,1 ile 30saniye <x< 40saniye ile uniform dağılımlıdır.

(a) 35 saniyede tamamlanan ürünlerin oranı kaçtır?

(b) ürünlerin %90 nın tamalanması için gerekli süre kaçtır?

Çözüm:(15p)

a) 35 saniye içerisinde tamamlanan ürünlerin oranı bir ürünün 35 saniye içerisinde bitirilme ihtimaline eşittir. O halde

b) Ürünlerin %90 nının tamamlanması için gerekli süreyi şu şekilde bulabiliriz. Bir ürünün tamamlanması 30 saniye ile 40 saniye arasında uniform dağılımlı olduğundan ürünlerin 31 saniyede %10 u tamamlanmış olur. Bu çıkarımı devam ettirirsek 39 saniyede ürünlerin %90 ı tamamlanmiş olur.

5. Aşağıdaki kümülatif ihtimal fonksiyonlarının ihtimal yoğunluk fonksiyonlarını bulunuz ve graf,ğini çiziniz.

(a) x>0

(b)

F(x)=

0 x<0

0,2x 0<=x<4

0,04x + 0,64 4<=x<9

1 9<=x

Çözüm:(20p)

(7puan)

(3p)

b) (7p)

f(x) in ihtimal yoğuluk fonksiyonu olduğunu anlamak için f(x) - ile + arasında integraline bakmak lazım. Bu integral ın 1 olduğunu görürüz. - ile + arasında integral aynı zamanda f(x) fonksiyonunun altında kalan alana eşit olacağından bu alanında 1 olduğunu görürüz. Yani yukarıdaki f(x) ihtimal F(x) in ihtimal yoğuluk fonksiyonudur.

Yani f(x) bir İYF dir. Peki sıçrama noktalarında türev alınmıyorsa (çünkü süreksiz fonksiyon türevlenemez) neden bu noktalarda fonksiyon sıfır oldu? Aslında bu sureksiz noktalar da fonksiyonun (İYF) ne değer aldığının bir önemi yok çünkü bu noktaların fonksiyonun altında kalan alanın hesaplanmasında bir katkisi yok. Bir noktanın ihtimli sürekli rastgele değişkenlerde herzaman sıfıra eşittir. Ben genede bu noktalarında İYF nun neden sıfıra eşit olduğunu konunun anlaşılabilmesi için anlatacağım.

(epsilon) u rastgele değişkenimiz sürekli olduğu için sıfıra cok yakın ve pozitif bir sayı olarak alıyoruz. Şayet sürekli değilde kesikli olmuş olsa idi o zaman =1 alırdık. O halde yukarıdaki ifadeden İYF numuzun 0, 4, 9 noktalarında sıfır değerleri aldığını şöyle gösterebiliriz,

Epsilon sıfıra giderken f(0) da sifir değerini alır.

Benzer şekilde

Olur ve epsilon sıfıra giderken f(4) de sıfıra gider. Benzer şekilde f(9) da sıfır a gittiği görülür.

(3p)

6. Yarı iletken çip üretimi yapan bir fabrika %2 hatalı üretim yapmaktadır. Bir plaka 1,000,000,000 çip içeriyor ve çip ler birbirinden bağımsız iseler aşağıdaki soruları cevaplayınız.

(a) Bir plakanın üzerinde 250 çipten fazla hatalı çip olması ihtimali yaklaşık kaçtır?

(b) Bir plakanın üzerinde 250 ila 300 çip arasında hatalı çip olması ihtimali yaklaşık kaçtır?

Çözüm:

X Binom Dağılımlı olduğundan dolayı (deneyin muhtemel iki sonucu var bunlar hatalı, hatasız. Hata oranı denemeden denemeye değişmiyor ve 0,02, çip ler birbirinden bağımsız)ve plaka sayıs da yeterince fazla olduğundan binom dan hesaplamamız gereken problemi normal dağılımla hesaplayarak gerçek rakama çok yaklaşabiliriz. O halde,

c) Benzer şekilde

Sınav İstatistiği

Aritmatik Orta	45,92
Median	41
Standard Sapma	20,20297
Varyasyon	408,16
Aralık	72
Minimum	18
Maximum	90
Toplam	1148
Toplam	25

Aşağıdaki Tablo soru başına toplanan puanları göstermektedir. Buradan da anlaşıldığı gibi 5. soru 1. vize de olduğu gibi anlaşılamamiş. Size tavsiyem bu meseleyi final imtehanına girmeden once muhakkak iyice öğrenmeniz. Bu konuda hertürlü yardıma hazırım.