MATE 251-A için 1. Vize 27 Aralık 2005 Salı

UYARI: Hesap makinası, normal dağılım tablosu ve 2 sayfalık özet bilgilerini kullanmak serbest. Karalama hesaplamalarınızı yaptıktan sonra soruların arasındaki boşluğa düzenli birsekilde cevaplarınızı yazınız. Yetmemesi durumunda arka sayfaya soru numarısını yazarak devam edebilirsiniz.

Sorular

1. Küçük arabalar daha az yakıt tüketmelerine rağmen büyük arabalar kadar güvenli değiller. Tirafikdeki tüm arabaların %18 i küçük arabalardan oluşmaktadır. Geçen yılların istatistiğine gore küçük arabaların içinde olduğu kazalarda toplam ölenlerin sayısı 11898 dir. Küçük arabaların kazaya karışma ihtimali 0.18 olduğunu farzedelim. Küçük arabaların karıştığı kazalarda ölüm ihtimali 0.128 olsun. Küçük arabaların karışmadığı kazalarda ölüm ihtimali 0,05 olsun. Ölümcül bir kaza haberi alındığında bu kazaya küçük arabanın karışmış olması ihtimali kaçtır? (15P)

Cözüm: KH: Ölümcül kaza olayı, K: Küçük arabaların Kazaya karişma olayı, B: Küçük olmayan arabaların Kazaya karışma olayı olsun. O halde

yi Bayes teoreminden yazabiliriz. Buradan

0, 36 bulunur.

2. Bir kulüp üyeleri hakkında aşağıdaki tabloyu oluşturmuştur (15p)

	Bekar	Evli
30 yaş altı 30 ve üstü	77 28	14 21

a. Birleşik ihtimal tablosunu oluşturunuz.

b. Marjinal ihtimalleri kullanarak kulübün müşterilerinin yaşları hakkında yorumlarınızı yazınız.

c. Rastgele seçilen bir müşterinin bekar ve 30 yaşından az olması ihtimali kaçtır?

d. Rastgele seçilen bir müşterinin yaşı 30 dan az olduğu biliniyor ise bu kişinin bekar olması ihtimali kaçtır?

e. Bu kulubün üyeleri için medeni haldurumu yaşdan bağımsızmı? İhtimalleri kullanarak izah ediniz.

Çözüm:

a)

	Bekar	Evli	Toplam
30 yaş altı 30 ve üstü	77/140 28/140	14/140 21/140	91/140 49/140
Toplam	105/140	35/140	140/140

b) P(30 yaş ve altı)=91/140 P(30 yaş ve üstü)=49/140 kulübün 30 yaş ve altı müdavimleri daha fazla.

c) P(Bekar ve 30 yaş az)=77/140

d) =77/91

e) Yaşın medeni hal durumundan bağımsız olabilmesi için eşitliğinin sağlanması gerekir. Ama bu eşitlik 77/91 105/140 ile sağlanmıyor. O halde medeni hal durumu yaşa bağlı.

3. Amerika Birleşik Devletlerinde kadın kamyon şöferlerin oranı %5 dir. 5 kamyon şöförünün rastgele seçildiğini farzedelim. (15p)

a. 5 kamyon şöförünün seçimi binom deneyimidir? Neden?

b. Seçilen şöförlerden ikisinin bayan olması ihtimali kaçtır?

c. Seçilen şöförlerin hiçbirinin bayan olmaması ihtimali kaçtır?

d. Seçilen şöförlerden en az birisinin bayan olması ihtimali kaçtır?

Çözüm:

a. Bernollidir çünkü:

1. Seçimin muhtemel iki sonucu var (şöför kadın veya kadın değil)

2. Şöförler birbirinden bağımsız çünkü rastgele seçiliyor

3. Sabit bir ihtimal var. yani ihtimal şöför seçiminden şöför seşimine değişmiyor ve 0,05

b. Deneyimimiz Binom dağılımlı olduğundan dolayı bu problem için binom ihtimal dağılım fonksiyonumuz aşağıdaki gibidir.

o halde seçilen şöförlerden ikisinin bayan olması ihtimali

=0,0021

c. seçilen şöförlerin hiçbirisinin bayan olmaması ihtimali

buradan

d.

4. Fatih Üniversitesi nin kayıt ofisine 2 dakika da 1 telefon gelmektedir. (15p)

a. 1 saatde gelebilecek telefon sayısının beklenen değerikaçtır?

b. 5 dakika içerisinde 3 telefonun gelme ihtimali kaçtır?

c. 5 dakika içerisinde telefon gelmeme ihtimali kaçtır?

Çözüm:

a. 2 dakikada 1 telefon gelmesi bekleniyorsa 1 saat 60 dakilka olduğundan 1 saat içerisinde ortalama 30 telefon beklentisi olur.

b. 2 dakikada ortlama 1 telefon geliyorsa 5 dakikada ortalama 2,5 telefon gelir. Ve bu dağılım poisson dağılımlı olduğundan poisson dağılımında telefon sayisi o halde

ise 0,21

c. 0,082

5. THY İstanbul Diyarbakır seferi için 1 saat 5 dakika olarak belirlemiştir. Biz geçmiş tecrübelerimizden biliyoruzki gerçek uçuş zamanı 1 saat ve 1 saat 15 dakika olarak uniform dağılımlıdır. (20p)

a. Uçuş zamanı için ihtimal yoğunluk fonksiyonunu bulunuz ve grafiğini çiziniz.

b. Uçağın 5 dakikadan fazla geç kalmaması ihtimali nedir?

c. Uçağın 10 dakikadan daha fazla geç kalması ihtimali kaçtır?

d. Beklenen uçuş süresi kaçtır?

Cözüm: a.

o halde uniform ihtimal yoğunluk fonksiyonun grafiği

b.

c. d.

6. Bir lastik firmasının ürettiği lastiklerin dayanıklıkları km olarak normal dağılımlıdır. Firmanın mühendislik bölümünün gerçek yol şartlarında yaptığı deneylerın neticesinde firmanın ürettiği lastikler ortlama 50,000km yapmaktadır. Bu testin sonucunda da standard sapma 6000km olarak belirlenmiştir. (20P)

a. Bu firmadan alınan rastgele bir lastiğin 35,000km den az mesafe katetmesi ihtimali kaçtır?

b. Bu firmadan alınan rastgele bir lastiğin 65,000km den fazla mesafe katetmesi ihtimali kaçtır?

c. Üretilen lastikler için P(X<a)=0,15 ise a kaç km dir?

Çözüm: a.

b.

c.

Sınav İstatistiği

Mean	28,30435
Standard Error	3,262563
Median	23
Mode	0
Standard Deviation	22,12778
Sample Variance	489,6386
Range	90
Minimum	0
Maximum	90
Sum	1302
Count	46