EV ÖDEVİ WEB SAYFASİ MATE 345 İÇİN

ANA-SAYFA

3. BÖLÜM Kesikli Rastgele Değişkenler ve İhtimal Dağılımları

 

 

 

3.2 Poisson Distribution

 

PoissonDistribution

N deneme için tam n başarı elde etme ihtimali binom dağılımının limiti elde edilsi bir Poisson Prosesidir.

P_p(n|N)==(N!)/(n!(N-n)!)p^n(1-p)^(N-n).

(1)

Dağılımı beklenen değer cinsinden bir fonksiyon gibi düşünürsek.

nu=Np

(2)

Örnek sayısı N ve sabit p yerine 2. eşitlikliği

P_(nu/N)(n|N)==(N!)/(n!(N-n)!)(nu/N)^n(1-nu/N)^(N-n),

(3)

N sonsuza giderken limiti göz önüne alırsak

P_nu(n)

=

lim_(N->infty)P_B(n)

(4)

=

lim_(N->infty)(N(N-1)...(N-n+1))/(n!)(nu^n)/(N^n)(1-nu/N)^N(1-nu/N)^(-n)

(5)

=

lim_(N->infty)(N(N-1)...(N-n+1))/(N^n)(nu^n)/(n!)(1-nu/N)^N(1-nu/N)^(-n)

(6)

=

1.(nu^n)/(n!).e^(-nu).1

(7)

=

(nu^ne^(-nu))/(n!),

(8)

Poisson Dağılımı Olarak bilinir(Papoulis 1984, pp. 101 and 554; Pfeiffer and Schum 1973, p. 200). İhtimal Dağılım fonksiyonunun (8) N den tamamen bağımsız olduğuna dikkat edelim. Bütün nu değerleri için aynı formdadır.

 

 

 

Sorular:

 

1.                          Servis almak maksadı ile aranan bir telefondan 30 saniyeden az sürede cevap alma ihtimali 0,75 dir. Aramalar bir birinden bağımsızdır.

 

a.      10 defa arandığında tam 9 una 30 saniyenin altında cevap alma ihtimali kaçtır?

b.      20 defa arandığında en az 16 sına 30 saniyenin altında cevap alma ihtimaki kaçtır?

c.      20 defa arandığında cevap almanın beklenen değeri kaçtır?

d.      30 saniyenin altında ilk cevabı almak için 4 defa arama ihtimali kaçtır? (cevap:0,0117)

e.      30 saniye içersinde alıncak cevabin beklenen değeri kaçtır?(cevap:1,3333)

 

2.                          Bir web sayfasının güncellenmesi saat başı 5 mesajla poisson dağılımlıdır.

 

a.      1 saat içerisinde 5 mesaj ile sayfanın güncellenme ihtimali kaçtır?(0,1755)

b.      1,5 saat de 10 mesajla güncellenme ihtimali kaçtır?(0,0858)

c.      2 mesaj dan az mesajla sayfanın 1,5 saatde güncellenmesi ihtimali kaçtır?(0,2873)

 

3.                          Bir ders kitabında hata sayfa başına ortalama 0,01 ile poisson dağılımlıdır. 100 sayfalık bölümünde 3 ve 3 den az hatanın olması ihtimali kaçtır?(0,9810)

4.                          Hastanın acısını gideren bir ilaç hastanın vermiş olduğu tepkiye göre 5-puan ölçeği ile değerlendirilmiştir. Mesela 5 acının tamamen gittiğini göstermektedir.

Geçmis verilere göre ihtimal dağılımımız aşağıdaki gibidir.

1                  2                      3                      4                      5

0,05             0,1                   0,2                   0,25                 0,4

 

İki birbirinden bağımsız hastayı göz önüne alalım.

 

a.      toplam puanın ihtimal kütle fonksiyonunu bulunuz.

Cevap:

x          2                      3                      4                      5                      6

            f(x)       0,0025             0,01                 0,03                 0,065               0,13

            x          7                      8                      9                      10

            f(x)       0,18                 0,2225             0,2                   0,16

 

5.                          Üretici firma ürünlerinden 0,02 si için garanti süresi içerisinde bozulmayi ummaktadır. 500 birbirinden bağımsız ürünler seçiliyor.

a.      Garanti süresi içerisinde hiç bir ürünün bozulmama ihtimali kaçtır?(0,0000041)

b.      Garanti süresi içerisinde beklenen bozuk ürün miktari kaçtır? (10)

c.      2 den fazla ürünün garanti süresince bozuk çıkması ihtimali kaçtır?(0,9995)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

                                                                           

Yukarida verilen Kümülatif ihtimal dağılım fonksiyonu için İhtimal Dağılım Fonsiyonunu bulunuz.