MATH 345 Final

January 30, 2006

Uyarı: Hesap makinası, normal dağılım tablosu ve 2 sayfalık özet bilgilerini kullanmak serbest. Karalama hesaplamalarınızı yaptıktan sonra soruların arasındaki boşluğa düzenli birsekilde cevaplarınızı yazınız. Yetmemesi durumunda arka sayfaya soru numarısını yazarak devam edebilirsiniz.

NOT: Eşit Puanlı toplam 200 puan

Sorular

1. Bir Otomobil firması araçların arızaları ile ilgili olarak aşağıdaki tabloyu oluşturmuştur.

Elektrik Arızası		Motor Arızası
		Evet	Hayır
	Evet	65	19
	Hayır	39	7

Rastgele bu firmadan alınan bir arabanın

a) Elektril aksamının arıza çıkartması ihtimali kaçtır?

b) Motor aksamının arıza çıkartması ihtimali kaçtır?

c) Elektrik arızası olduğu biliniyorsa motor arızası çıkartma ihtimali kaçtır?

d) Motordan arıza çıkarttığı biliniyorsa elektrik arızası çıkartma ihtimali kaçtır?

e) Motordan arıza çıkartma olayı ve elektrikten arıza çıkartma olayları bağımsız olaylarmı? Neden? Neden değil?

Çözüm:

Elektrik Arızası		Motor Arızası		Toplam
		Evet	Hayır
	Evet	65	19	84
	Hayır	39	7	46
Toplam		104	26	130

a) P(E)=84/130

b) P(M)=104/130

c) P(M/E)=65/84

d) P(E/M)=65/104

e) P(M/E)=?P(M)

65/104=?104/130

0,625 0,8 o halde bağımlı olaylardır.

2.

X kesikli rastgele değişkeni ise

a) P(X50)=?

b) P(-10<X<10)=?

c) f(x) i (ihtimal kütle fonksiyonu) bulunuz

Çözüm:

a) F(x)=P(Xx) olduğundan P(50)=F(50) dir o da fonksiyonun tanımındaki görüntü kümesinden 1 e eşittir yani P(50)=1 dir

b) P(-10<X<10)=P(X<10)-P(X-10) X kesikli rastgele değişkeni olduğundan noktanın önemi VAR o yüzden eşitliğin sağ tarfında -10 u dahil ettik.

P(-10<X<10)=F(10)-F(-10)

P(-10<X<10)=0,25-0,25

P(-10<X<10)=0

c) f(x) sadece sıçrama noktalarinda bir değere sahiptir diğer noktalarda sıfırdır. O halde

3. n=3 ve p=0,25 için kümülatif binom ihtimal küte fonksiyonunu bulunuz.

Çözüm:

4. Kimyasal bir madde içeren paketlerin ağırlığı 49,75kg<X<50,25kg arasında uniform dağılımlıdır.

a) Rastgele seçilen bir paketin 50kg dan fazla çıkması ihtimali kaçtır?

b) Paketlerin %90 ninda kaç kilogram kimyasal madde vardır?

c) Paketlerin ağırlığının beklenen değerini, varyansını ve standard sapmasını hesaplayınız.

Çözüm:

a) P(X>50kg)=(50,25-50)/(50,25-49,75)

P(X>50kg)=0,25/0,50

P(X>50kg)=0,50

b) Paketlerin %90 ı 50,20kg dan az kimyasal madde içerir.

c)

5. Bir havayolu sirketi 750 yer için 850 resarvasyon yapmıştır. Rezervasyon yaptıranların uçuşa gelmeleri ihtimali 0,9 ise ve müşteriler birbirinden bağımsız ise aşağıdaki ihtimalleri hesaplayınız.(UYARI:ihtimallerin sıfirdan sonra 3 basamak hassasiyetinde hesaplanması gerekmektedir)

a) Uçağın tam kapasite havalanma ihtimali kaçtır?

b) Boş koltukla havalanma ihtimali kaçtır?

c) Uçuş için gelen herkezin koltuk bulamabilme ihtimali 0,95 ise havayolu sirketi yaklaşık kaç rezervasyon yaptırmalıdır?

Çözüm:bu soru Binom Dağılımı problemidir. Ve Binom ihtimal kütle fonksiyonunu Normal dağılım yaklaşımı ile çözeceğiz çünkü direk çözüm rakamların büyük olması nedeni ile kağıt üzerinde mümkün gözükmüyor.

a) Uçağın tam kapasite havalanma ihtimali

P(X750) ihtimalidir. Burada X rezervasyon yaptıranlardan uçuşa gelenlerin sayısı vermektedir. Rastgele değişkenimizi böyle almamızın nedeni rezervasyon yaptıranların uçuşa gelme ihtimalinin 0,9 olarak verilmiş olması

b) Uçağın boş koltukla havalanma ihtimali P(X<750) dir. Çünkü bu rezervasyon yaptıran 850 kişiden 750 den az kişinin uçuşa gelmesi ile mümkün. O halde

P(X<750)=1-P(X>750)

P(X<750)=1-0,9564

P(X<750)=0,0436

c) İPTAL

6. Bir halının üzerindeki toz parçaları 1 metrekare alanda 1000 toz parçası ile Poisson dağılımlıdır. Halı üserinde 10 metrekare alanda 9500 den az toz parçasına rastlanma ihtimali kaçtır?

Cözüm: Bu soruda Poisson Dağılım problemi. O halde tam çözüm poisson dağılımı ile yapılabilinir. Ama bu rakamların cok büyük olması sebebi ile mümkün gözükmüyor o halde Normal Dağılım yaklaşımı ile çözebiliriz.

7. şeklinde bir ihtimal yoğunluk fonksiyonu verildiğinde aşağıdaki ihtimalleri buna bağlı olarak hesaplayınız.

a) P(X>1)=?

b) P(2<X<5)=?

c) P(X<x)=0,9 ise x=?

Çözüm:

a)

b)

c)

8. Otomatik dolum yapan bir makina yüksek hızda çalıştırıldığında 0,01 hata ile düşük hızda çalıştırıldığında 0,001 hata ile dolum yapmaktadır. Deponun %30 u makina yüksek hızda çalıştırılarak dolduruldu ise ve geri kalanıda makina düşük hızda çalıştırılmak sureti ile doldurulmuştur.

a) Dolu deponun hatalı ürün içermesi ihtimali kaçtır?

b) Deponun hatalı ürün içerdiği biliniyor ise bunun makinanın yüksek hızda çalışması sırasında olması ihtimali kaçtır?

Cözüm:

a) P(H)=P(YH)P(H/YH)+P(DH)P(H/DH)

P(H)=0,3*0,01+0,7*0,001

P(H)=0,003+0,0007

P(H)=0,0037

b) P(YH/H)=P(YH)P(H/YH)/P(H)

P(YH/H)=0,003/0,00037

P(YH/H)=30/3

Sınav İstatistiği

Final
Ortalama	67,2
Medyan	49
Mode	121
Standard Sapma	45,94380626
Örnek Değişim	2110,833333
Aralık	145
Minimum	10
Maximum	155
Toplam Puan	1680
Toplam Öğrenci	25