MATE 251 Final

February 20, 2006

Uyarı: Hesap makinası, normal dağılım tablosu ve 2 sayfalık özet bilgilerini kullanmak serbest. Karalama hesaplamalarınızı yaptıktan sonra soruların arasındaki boşluğa düzenli birsekilde cevaplarınızı yazınız. Yetmemesi durumunda arka sayfaya soru numarısını yazarak devam edebilirsiniz.

Sorular

1. İSKİ tarfından 2002 yılında yapılan bir anket neticesinde aşağıdaki tablo oluşturulmuştur. Tablo oluşturulurken 2 soru sorulmuştur birisi ticari binanın nezaman inşa edildiği diğeride ne isinma şeklinin ne olduğu. Kısmi tablolaştırma aşağıdaki gibi yapılmıştır.

	Yakıt Şekli
Yapım Tarihi	Elektrik	Doğal Gaz	Oil	Propane	Diğer
1993 or Less 1994-1996 1997-1999 2000-2002	40 24 37 48	183 26 38 70	12 2 1 2	5 2 0 0	7 0 6 1

a) Satır ve sütün toplamlarını göstererek tabloyu tamamlayınız.(8P)

b) Yakıt Şekli ve Yapım Tarihleri için frekans dağılımlarını gösteriniz. (8p)

c) Sütun yüzdelerini göstern çapraz tabloyu oluşturunuz.(9p)

Çözüm: a)

	Fuel Type
Year Constructed	Electricity	Natural Gas	Oil	Propane	Other	Total
1993 or Less 1994-1996 1997-1999 2000-2002	40 24 37 48	183 26 38 70	12 2 1 2	5 2 0 0	7 0 6 1	247 54 82 121
Total	149	317	17	7	14	504

b)

Year Constructed	FD	FUEL TYPE	FD
1993 or Less 1994-1996 1997-1999 2000-2002	247/504 54/504 82/504 121/504	Electricity Natural Gas Oil Propane Other	149/504 317/504 17/504 7/504 14/504

c)

	Fuel Type
Year Constructed	Electricity	Natural Gas	Oil	Propane	Other
1993 or Less 1994-1996 1997-1999 2000-2002	40/149*100 24/149*100 37/149*100 48/149*100	183/317*100 26/317*100 38/317*100 70/317*100	12/17*100 2/17*100 1/17*100 2/17*100	5/7*100 2/7*100 0 0	7/14*100 0 6/14*100 1/14*100
Total	100	100	100	100	100

2.

9,0 15,8 17,3 12,8 5,0

19,6 52,7 31,1 12,2 30,3

22,9 17,3 9,6 14,5 14,7

a) 5 sayı özetini yapınız (6p)

b) Alt ve üst limitleri hesaplayınız (6p)

c) İstisnalar varmı? Neden? Neden yok? (6p)

d) Box-Plot I çiziniz(7p)

Çözüm:

a) 5 9 9,6 12,2 12,8 14,5 14,7 15,8 17,3 17,3 19,6 22,9 30,3 31,1 52,7

We can order them like above so:

Smallest Number: 5 Q1:12,2 Q3:22,9 Q2(median)=15,8

b) LL=Q1-1,5*IQR=12,2-1,5*10,7=12,2-16,05=-4,3 UL=Q3+1,5*10,7=22,9+1,5*9,7=21,9+14,55=38,95

c) yes There is an outlier and it is 52,7 since it is bigger than the UL

Bak

3. Bir mobilya mağazasının idarecisi haftada 0 ile 4 arasında koltuk satmaktadır. Eski tecrübelere dayanılarak satılan koltuk sayısına göre aşağıdaki ihtimaller bulunmuştur. 0,1,2,3, veya 4 koltuk için: P(0)=0,08; P(1)=0,32; P(3)=0,30; ve P(4)=0,12

a) Bu doğru bir ihtimal dağılımımı? Neden? Neden Değil? (9p)

b) A olayı haftada 2 ve daha az koltuk satma olayı ise P(A) kaçtır? (8p)

c) B olayı haftada 4 ve daha fazla koltuk satma olayı ise P(B) kaçtır? (8p)

Çözüm:

a) Eğer P(2)=0,18 ise bir ihtimal dağılımı değilse ihtimal dağılımı değildir.

b) P(X<=2)=P(0)+P(1)+P(2)=0,08+0,32+0,18=0,58

c) P(X>=4)=P(4)=0,12 X>4 olduğunda ihtimal 0 dir.

4. Yol mühendisi bir anayol kesişim noktasında kazaları ayda ortalama 2,5 olarak tesbit etmiştir. Buna bağlı olarak aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a) İki ayda bir kazanın olması ihtimali kaçtır? (8p)

b) Bir ayda birden fazla kazanın olması ihtimali kaçtır?(8p)

c) Kaza sayısı içinBeklenen değeri, varyasyonu ve standard sapmayı hesaplayınız (9p)

Solution:

a)

b)

c)

5. Arsa alım ihalesi ile ilgilendiğimizi düşünelim. Satıcı 10,000$ ın üstündeki tekliflerin geçerli olacağını ilan etmiştir. Farzedelimki rakibin teklifi x rastgele değişkeni olsun ve x rastgele değişkenide $10,000 ile $15,000 arasında uniform dağılımlı olsun. (Bu problem Prof. Roger Myerson of Northwestern University e aittir)

a) Eğer $12,000 teklif etti isek. İhaleyi kazanma ihtimalimiz kaçtır? (8p)

b) Eğer$14,000 teklif etti isek. İhaleyi kazanma ihtimalimiz kaçtır? (8p)

c) İhaleyi kazanma ihtimalimizi maximize etmek için nekadarlik teklif vermemiz gerekir?(9p)

Çözüm:

a) If the competitor’s bid X is a uniform distribution and changes between $10,000 and $15,000 than the probability of winning of the bid with $12,000 is equivalent to Competitors bids less then $12,000 i.e. P(X<$12,000)=($12,000-$10,000)/($15,000-$10,000)=$2,000/$5,000=0,4

b) Same approach as part a. P(X<($14,000-$10,000)/$15,000-$10,000)=4/5=0,8

c) $15,000 bids guarantees the property since P(X<=15,000)=1

6. Bir üniversitedeki öğrencilerin %10 u evlidir. Rastgele seçilen 3 öğrenci için X rastgele değişkeni evli öğrencilerin sayısını göstersin. Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a) X in ihtimal dağılım fonksiyonunu yazınız. (13p)

b) X in Beklenen değerini, standard sapmasını ve varyansını hesaplayınız. (12p)

Çözüm:

a)

b) E(X)=3.0,1=0,3 V(X)=3.0,1.0,9=0,21

7. DİE verilerine göre 1998 yılı ititbari ile Türkiye de üretim yapan sektörde işciler ortalama 112YTL haftalık almaktadır. Haftalık maaş 21YTL standard sapma ile normal dağılımlı olduğunu kabul edelim. O halde aşağıdaki soruları bu bilgiler dahilinde cevaplayınız.

a) Bu sektörden bir işcinin haftalık 100YTL ile 140 YTL arasında kazanması ihtimali kaçtır? (8p)

b) Bu sektörden bir işcinin en iyi maaş alan %20 lik dilime girmesi için haftalik nekadar kazanması gerekir?(9p)

c) Bu sektörden rastgele seçilen bir işcinin haftalık 71YTL den az kazanması ihtimali kaçtır? (8p)

Çözüm:

a. Haftalik maaş X XN(112,21)

b)

c)

8. Bir sigorta şirketi otomobillerin sigorta pirimlerini genç sürücülerden daha fazla olacak sekilde ayarlamaktadır. Buna sebep genç sürücülerin diğerlerine göre daha fazla kazaya karışmalarını göstermektedir. Şirketin 3 farklı yaş gurubu vardır: A gurubu 25 yaş altını oluşturmaktadır ve tüm müşterilerin %22 sini bu gurup oluşturmaktadır. B gurubu 25-39 yaşında olanları içeriyor ve bu gurupta tüm müşterilerin %43 ünü oluşturmaktadır. C gurubu ise 40 yaş ve üstünü içeriyor. Şirketin geçmiş kayıtlarına göre herhangi bir 1 yıllık periyotda şirketin A gurubu müşterilerinin %11 i B ve C gurubu müşterilerinin %3 ü kazaya karıştığı tesbit edilmiştir.

a) Gelecek 12 ay içerisinde şirketin müşterilerinin yüzde kaçının kazaya karıştığını hesaplayınız. (12p)

b)   Bu şirketin bir müşterisinden kaza haberi geldiğinde bu müşterinin 25 yaş altında olması ihtimali kaçtır?(13p)

Çözüm:

a)

b)