MATE 251 İÇİN WEB SAYFASİ

ANA-SAYFA

6. BÖLÜM SÜREKLİ RASTGELE DEĞİŞKENLER

 

6.1 Uniform Rastgele değişkenler

 

Uniform dağılımın tanımı
Bir rastgele değişkeni X a and b arasında uniform dağılımlı olabilmesi için ihtimal yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olmalidir.

 

                                                   

 


yukarıdaki ihtimal yoğuluk fonksiyonuna sahip dağılıma uniform dağılım denir.

Kümülatif İhtima Yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki elde edilmiştir. Kümülatif İhtimal yoğunluk fonksiyonu büyük harf F ile gösterilir. F(x) de ihtimallerin x e kadar toplamlari demektir. Yani ihtimal yoğunluk fonsiyonun altında kalan alanın x e kadar kısmıdır Kümülatif İhtimal Yoğunluk Fonksiyonu.

Kümülatif İhtimal Yoğunluk Fonksiyonu



Örnek:

X rastgele değişkenimiz 2 iel 5 arasında uniform dağılımlı olsun. Dolayısı ile yoğunluk fonksiyonumuz aşağıdaki gibi olur.


Çözüm:

F(X) = P(X x) = (x - 2) / (5 - 2) = 1/3 (x - 2)


Kümülatif ihtimal yoğunluk fonksiyonumuz da yukarıdaki gibi olur.
Poblem:

What is the distribution function of a random variable x which is uniformly distributed between the values 3 and 9?

Beklenen Değer ve Varyans

 

Problem: Kapali zarf usulü arsa alım ihalesine girdiğimizi düşünelim. Satıcı arsanın 10bin YTL ve üzeri artirmaların Kabul edilecegğini ilan ediyor. Farzedelimki rakip x rastgele değişkeni olsun ve 10bin YTL ile 15bin YTL arasinda uniform dağılımlı olsun.

 

a)       Eğer 12bin YTL lik bir artırma yaparsam ihaleyi alma ihtimalim kaçtır?

b)       İhaleyi alma ihtimalimi maximum yapmak için nekadarık artırma yapmalıyım?

c)       Şayet birisinin sana arsa için ihaleden sonar 16bin YTL vereceğini biliyorsan b şıkkındaki rakamı soylermisin? Neden söylersin? Neden söylemezsin?

           

 

6.2 Normal Rastgele Değişkenler (Z-Table)

 

 

Bu bölümde aşağıdaki başlıkları öğrendik:

1.       Sürekli dağılım ne demek? – özellikleri ve ihtimallerinin bulunmasi.

2.       Normal Dağılım ne demek? -  özellikleri ve inşası

3.       Bir Değişkenin Normal Dağılımlı olup olmadığının belirlenmesi.

Uniform dağılımlı ya verdiğim örneği hatırlayalim. Uçak İstanbul dan Ankaraya 120 dakika ile 140 dakika rasinda her dakika aralığında ulaşma ihtimali eşit olan dağılım normal dağılım değildir. Çünkü uçağın 120 dakikadan önce ve 140 dakikadan sonra Ankaraya varma ihtimalleri sıfırdır bu durum normal dağılımlı olmasına engel teşkil etmektedir. Normal dağılıma tüm insanların ağırlıkları örneğini vermiştim. Bu dağılım normal bir dağılımdır çünkü istenilen kilogram aralığında insanların o aralıkdaki kilogram başına eşit sayıda dağılımlı olması düşünülemez. Mesela 40-41 kilogram arasındaki insane sayısı 100-101 kilogram arasındaki insan sayısına eşit olması beklenemez. Dolayısı ile bu dağılım normal dağılım özelliği gösterir.

4.       Standard Normal Dağılım ne demek ve Standard Normal Dağılımdan tekrar original dağılıma nasıl döneriz?

5.       Normal Dağılım tablosunu nasıl kullanacağız?

6.       Gerçek problemlere normal dağılımın uygulanması.

Terimler: Normal Rasgele Değişkenler, Standard Normal Değişkenler, Z, Çan Eğrisi Dağılımı:

                    I.            Problemler

1.       X ÖSS sonuçlarını veren rastgele değişkenimiz olsun. Daha önceki imtehanların sonuçlarına göre imtehanı alanların çoğuluğu aritmatik ortalamanın civarinda alırken cok azi aritmatik ortalamanın cok altinda ve cok üstünde almaktadır. Ve imtehan sonuçları aritmatik ortalamaya göre simetrik olarak dağılmaktadır.

 X ~ N(,)

 ÖSS sınavının aritmatik ortalamasını   de standard sapmasını ölçsün. Bu Normal dağılımın ihtimal yoğunluk fonksiyonun herhangi bir aralık için altında kalan alan bize ihtimali verecektir.

Mesela P(450 < X < 700) bize imtehana giren herhangi birinin imtehandan 450 ile 700 arasında puan alma ihtimalini verecektir.

Herhangi bir sürekli rastgele değişken için aşağıdaki ifade herzaman doğrudur?

P(a < X < b) = P(a <= X < b) = P(a < X <= b) = P(a <= X < = b)

*** Eşitliği dahil etmenin ihtiam hesabina katkısı sıfır mertebesindedir. ***

Yani: P(X = a ) = 0.

Şimdi aşağıdaki problemleri çözmeye çalışalım.

2. Daha önceki imtehanlar göz önüne alınarak populasyonun ÖSS imtehan ortalaması 450 ve standard sapması ise 100 olarak belirlenmiştir. Dolayısı ile X rastgele değişkenimiz X ~ N(450, 100) dağılımlıdır.

    1. ÖSS ye girenlerin % kaçı 650 puanın üzerinde almıştır?
    2. ÖSS ye giren bir öğrencinin 350 ile 550 puan arasında alma ihtimali kaçtır.
    3. ÖSS den 450 ile 600 puan arasında alma ihtimali kaçtır?
    4. ÖSS den 750 puandan fazla alma ihtimali kaçtır?
    5. Medyanı ve Q1 I bulun.
    6. Fatih Üniversitesi %60 ın içerisinde olanları Kabul ediyorsa Fatih üniversitesine girmek için gerekli minimum puan kaçtır?
    7. Bir öğrenci 720 puan almiştır. Öğrenci en iyi %5 in içersisinde olduğunu iddia etmektedir. Öğrenci haklımı?

3. Z~N(0,1) ise  P(0 < Z > 1.28), P(Z > 1.28) , P(Z < -1.28) leri bulunuz.

4. X~N(-20,10) ise, aşağıdaki ifadeler doğrumu? Neden?

a.       P(X > -20) = .5,

b.       (b) P(X > 0) = P(X < 0),

c.       (c) P(X > -40) = P( X < 0),

d.       (d) P( X > -20) < P(X < 0)

5.       Geçmiş yılların tecrübesine göre bilgisayar fiyatları ortalama fiyatı $1200 ve sıtandard sapması $300 ile normal dağılımlıdır.

a.       Bir bilgisayarın fiyatının $1550 ve yukarı olmasının ihtimali kaçtır?

b.       1.Çeyrek bilgisayar fiyatı kaçtır?

c.       Eğer senin bilgisayarın $900 ise. Senin ödediğin fiyatın altında olan bilgisayarların % kaçtır?

d.       Eğer bilgisayarın fiyatı 2 sıtandard sapma ortalama fiyattan farklı ise bu bilgisayar nadir alınan bilgisayardır deniyorsa $800 a alınan bir bilgisayar nadir bilgisayarlar katagorisindemidir?

 

6. Z ~ N(0,1) ise aşağıdakileri Z tablosu yardımı ile hesaplayınız.

P(0 < Z < 1.96), P(Z < 1.96), P( Z < -1.96), P(Z > 1.96), P(-1.96 < Z < 0)

P(0 < Z < zo) = .24 ise zo bulun.

P(Z > zo) = .975 ise zo

Q3 ü hesaplayınız.

7. X ~ (50, 20)

X = -20, 0, 20, 50, 80, 110 e karşılık gelen z değerlerini hesaplayınız.

P(20 < X < 60), P(10 < X < 40), P( X > 85), P( X < 60) leri hesaplayınız.

P(X < xo) = .025 ise xo hesaplayınız.

P(20 < X < xo) = .75 ise xo hesaplayınız.

 

8. Geçmiş tecrübelere göre bir öğrencinin günlük bilgisayar kullanımı ortalama 100 dakika ve 40 dakika standard sapma ile normal dağılımlıdır.

a.       Bir öğrencinin bir günde bilgisayarın başında 3 saatden fazla geçirmesinin ihtimali kaçtır?

b.       Eğer sen günde 30 dakika bilgisayarın başında harcıyorsan tüm öğrencilerin % kaçı senden daha az zaman harcıyorlar?

c.       Eğer bir öğrenci en fazla veya en az zaman harcamada %1 lik dilime giriyorsa bu öğrenci nadir öğreci olarak adlandırılıyor. Bir öğrenci bir günde nekadarlık sürelerde bilgisayarda zaman harcarsa nadir öğrenciler katagorisinde bulunur?