MATE 251 İÇİN ÖDEV VE DERS NOTLARI

5. BÖLÜM KESİKLİ RASTGELE DEĞİŞKENLER

5.2 Poisson Dağılımı

Bazı olaylar nadiren olur, mesela araba kazaları bir kaideden cok istisnai durumlardır. Biz genede bu tür olayların şeklini belli zaman dilimleri içerisinde belirleyebiliriz. Bu tür olaylarının olma sikliklari ve nedenlerinin dağılımlarını bilmek bize kaza nin nedenleri ve alinması gereken önlemlerin öncelikleri hakkında doğru karar vermemize yardımcı olur. İşte tam burada Poisson Dağılımı alınması gereken tedbirin önceliğinde belirleyici olur ve trafik kazalarına bağlı ölümlerde alınan tedbirler sayesinde azalma gözlenir. Bu örneği anne karnındaki cocukların gene Poisson Dağılımı ile alınan tedbirler sayesinde kurtarılabilmesi gibi olaylarla Poisson dağılımının daha bir çok problemlerde insanlara faydasının dokunduğu yaklaşık 110 senedir görülmektedir. Poisson dağılımı Fransız bir matematikçi tarafında 1837 yılında bulunmuş ve ilk uygulaması Prusya ordusundaki ölen asker sayısının at tepmesine bağlı olarak nasıl bir dağılım gösterdiği tesbit edilmiştir. (Bortkiewicz, 1898).

Poisson dağılımı, Matematiksel olarak tanımlanan başarı sayısının ihtimallerinin matematiksel bir kuralla dağılımını belirler. Bu dağılımı tek belirleyici unsuru başarı sayımızın belli bir zaman dilimindeki aritmatik ortalamasıdır ve biz bunu genellikle( $\lambda$ ) sembolü ile gösteriyoruz.

Aslında teorikte Binom dağılımı ile de çözülebilecek problemleri Poisson Dağılımı ile daha ekonomik ve etkili bir şekilde çözebiliriz. Mesela herhangi bir kavşakdaki trafik kaza sayısının belirli zaman dilimindeki ihtimal dağlılımı hesaplamak istesek bunu iki yoldan yapabiliriz. Binom ve Poisson dağılımları yardımı ile. Binom Dağılımın baş vursak binom dağılımı bizden o kavsakan gecen kaza yapan ve yapmayan tüm arabaların sayısını isteyecektir. Bunun tesbiti cok zaman ve para alacağından bu yol oldukça masraflı olacaktır ve hata yapma riskide buna bağlı olarak fazla olacak. Poisson ise bizden sadece istenilen zaman dilimlerinde geçmiş polis kayıtlarındaki kaza sayısını talep edecektir. Bu sayi tesbit edildiğide istenilen zaman diliminde aritmatik ortalaması bulunur ve ihtimalin dağılımı tesbit edilir. Dolayısı ile Poissan dağılımını kullanmal cok daha ekonomiktir. Bir rastgele değişkenin Poisson dağılımlı olabilmesi için aşağıdaki hususlara dikkat edilmesi gerekiyor.

· İstenilen olaylarin sayımı

· Tüm olayların bağımsızlığı

· Belirli zaman aralığında tesbit edilen başarı sayısı ortalaması oranının bu aralıkta istenilen zaman dilimi içerisinde sabit olması

Poisson dağılımına uygun problemler:

· Hatalı doğumlar

· Üretim hatası araba sayısı

· Bir sayfadaki yazım hatası sayısı

Poisson İhtimallerinin Tesbiti

· Parametreler

o $\lambda$ = Başarıların aritmatik ortalaması

o $\lambda$ sıfırdan büyüktür ve tam sayı olmaz zorunda deği.

o X ise tam sayı olmak zorunda = 0, 1, 2, 3, .....

· Poisson İhtimal Dağılım fonksiyonu

Formül ile ilgili olarak endişelenmeye gerek yok. Herşeyi elle hesaplayacağız.

Poisson Deneyinin Özellikleri

· Eğer X $\lambda$ parametreli bir Poisson dağılımı ise biz bunu şeklinde gösteririz

· Bu dağılımın beklenen değeri dir ve varyansı dır.

Uygulamalar

Örnek

Poisson dağılımı bir web sayfası için tıklanma oranı içinde uygulanır.The Poisson distribution can be applied to the hit rate on a web site. Aşağıdaki grafik bir web sayfasının akşam 9 dan önce bir saat içerisindeki tıklanma sayısının dağılımını vermektedir.

Poisson dağılımının Aritmatik ortalamaya (mean) göre profili

Uygulama Sahaları

Poisson Process çok çeşitli alanlarda uygulama sahası bulmaktadır. Mesela temel bilimlerde, üretimde, trafik modellmelerde, kuyruk modellerinde vs.

· Endüstri - Verilen zaman diliminde bir makinanın performansını değerlendirme de kullanılabilinir.

· Tarım ve Hayvancılıkta - Bitkiler ve Hayvanlar belirli bölgelerde Poissan dağılımı gösteririler.

· MEDİKAL - Poisson Dağılımı herhangi bir hastalığın mağdur ettiği insane sayısının dağılımını tesbit eder. Mesela saat başı kanserden ölenlerin saysısı veya herhangi bir virüsten ölenlerin sayısı vs.

· TELEFON – Herhangi bir zaman diliminde gelen telefon sayısı Poisson Dağılımlıdır.

· KUYRUK TEORİSİ – Doktor ofisinde, otobüs durağında bekleme vs gibi durmlar için geliştirilen modellemelerde kullanılır.

· DİĞER ÖRNEKLER – Belirli kelimenin bir kitapta geçme sayısı, kitaptaki yanliş yazılmış kelime sayısı, bu ay olacak yağmurlu gün sayısı vs. gibi tahminlerde Poisson Dağılımlıdır.

Problemler

1. Olaylar saat başı 2 defa olacak şekilde Poisson Dağılımlıdır.
(a) Saat 8 ile 9 arasında hiç bir olayın olmaması ihtimali kaçtır?
(b) 6 ile 8 arasında iki veya daha fazla olayın olması ihtimali kaçtır?

Çözümler

(hour=saat, hours=saatler, perhour=saatbaşı)

(a)
Poisson Process - Problem 1a
(b)
Poisson Process - Problem 1b

2. Birçok internet Servisi Tedarikçilerinin internet için geliştiridiği modeller Poisson Dağılımlıdır. Farzedelimki Fatih Üniversitesi nin web sayfası öğle arasında saat başı ortalama 10 defa ziyaret edilsin.
(a) Öğlen bir saatte10 dan fazla ziyaretçi olmaması ihtimali kaçtır?
(b) Öğlen 1 saat de ziyaretçi sayısının 15 i geçmesi ihtimalini hesaplayınız?

Çözüm

Poisson(λt)=Poisson(10*1)

Referanslar

1. Engineering Statistics Handbook

2. Kvanli. et al (2003) Intoduction to Business Statistics. Thomson.

e= 2.71828182845904523... Varyasyon aritmatik ortalamaya eşittir

1. Binom dağılmında belirleyici unsurlar örnek sayısı ve sabit olan ihtimal iken Poisson dağılımın belirleyici TEK unsuru aritmatik ortalamadır.

2. Binom dağılımı x = 0 dan n ama Poisson dağılımı ise x = 0 to sonsuz a değer üretir.

Örnek: Ortalama bir günde 3 çocuk saçlı doğmaktadır. Bir günde 2 çocuğun saçlı doğması ihtimalini ve tüm cocuklarin saçsiz doğmasi ihtimalini bulunuz.
Çözüm: a. P(2) = 3² · e^-3 ÷ 2 = .224 b. P(0) = 3⁰ · e^-3 = .0498

Örnek : Saat 10 ile 11 arasi bankaya ortalama 60 müşteri geliyorsa saat 10 ile 11 arsinda 1 dakika içerisinde 2 müşterinin gelme ihtimali kaçtır?
Solution: O halede µ = 1 çünkü 1 saat 60 dakikadır o halde 1 dakikada ortalam 1 müşteri gelir ve x = 2. P(2)=e^-1/2!=0.3679÷2=0.1839.

Poisson Dağılımı ile ilgili Problemler

1. Saat 10 ile 11 arasi bankaya ortalama 60 müşteri geliyorsa saat 10 ile 11 arsinda 1 dakika içerisinde 1 müşterinin gelme ihtimali kaçtır?

2. Saat 10 ile 11 arasi bankaya ortalama 60 müşteri geliyorsa saat 10 ile 11 arsinda 1 dakika içerisinde 3 müşterinin gelme ihtimali kaçtır?

3. S Saat 10 ile 11 arasi bankaya ortalama 60 müşteri geliyorsa saat 10 ile 11 arsinda 1 dakika içerisinde 3 müşteriden fazla gelme ihtimali kaçtır?

4. Yukaridaki ihtimallerin yaklasik değerlerini hesaplayarak en az 10 adima kadar hesaplayip grafiğini çiziniz.