MATE 251 İÇİN ÇALİŞMA NOTLARI

ANA-SAYFA

Bölüm 5 Rastgele Değişkenler

5.1Rastgele Değişkenler

Bir rastgele değişken rastgele deneyin muhtemel sonuçlarını önceden tanımlanan bir değişken ile ölçmektir. Mesela, numaralanmış biletleri bir kutunun içerisinden rastgele çektiğimizi düşünelim. Çeşitli dizinimlerde numaralı biletleri ratgele çektiğimiz düşünelim. Belli sayida çekilen biletlerin üzerindeki rakamlar toplami mesela bir rastgele değişkendir. Çünkü bilet çekme işlemi rastgele olamaktadır.

Kesikli Dağılımlar

Kesikli dağılımlarda ihtimal dağılım için sıfırdan farklı ihtimaller sayılabilir dir. Mesela bernolli dağılımı pozitif ihtimalleri {0, 1} için p ve q dur (q=1-p) Binom dağılımı ise pozitif ihtimalleri {0, 1,2,.........n} için belirlenmistir.

Daha birçok kesikli dağılımlar vardır. Bunların bazılarının adları var bazılarının ise yok.

Sürekli Dağılımlar

Bir sürekli rastgele değişken değerlerini real sayılı aralıkdan veya aralıklardan alır. Ama Kesikli rastgele değişkenlerse bir biri ardinca değişen rakamlar ile temsil edilir. Bu sürekliliğe veya kesikliliğe olaylar ve problemler neden olur. Bazı olaylar doğal olarak kesikli rastgele değişkenlerle ifade edilebilinir. Mesela fiziksel ölçümler sürekli rastgele değişkenlerle ifade edilebilinir. Mesela yükseklik, ağırlık, sıcaklık, basıç vs gibi. Ama burada su karistirilmamali. Mesela desekki yeni doğan cocukların boylarını kayit edelim. O zaman kullandiğimiz rakamlar tam sayi olmayabilir ama tek tek reel sayi olur. Yani gene sayılabilir miktarda hatta sonlu sayıda rakamlarla rastgele değişkenimizi tanımlarız. Bu gene kesikli rastgele değişken olur.

Aşağıdaki testi kendi kendinize yapmaya çalışın.

T borsadan hisse senedi alan bir kisinin hisse senedi değeri 2 katı pirim yapana kadar geçen süre? T süreklimi yoksa kesiklimi?

· sürekli

· kesikli

T bir okul döneminde tatil zamanları hariç gün sayısı olsun. T süreklimi yoksa kesiklimi?

· sürekli

· kesikli

Aşağıdaki örnekler ihtimal dağılım fonksiyonu uygulamasına yöneliktir. İhtimal dağılım fonksiyonu rastgele değişkenimizin elemanlarının gerçekleşme ihtimallerini teker teker gösteren bir fonksiyondur. İhtimal dağılım fonsiyonu rastgele değişkenimizin her bir elemanının gerçekleşme ihtimalini ölçer. Mesela, bir madeni parayı 2 defa attığımızı düşünelim. X rastgele değişkenimiz gelen tura sayısını ölçsün. O halde X 0, 1, 2 değerlerini alır. X in ihtimal dağılım fonksiyonu p(0)=0.25, p(1)=0.5, p(2)=0.25 dir.

Düzgün olmayan bir madeni parayı 2 defa havaya attığımızı düşünelim. Ve bu paranın tura gelme ihtimali 0,6 ve yazı gelme ihtimali 0,4 dür. Ve X rastgele değişkenimiz gelen tura sayısını ölçsün. Buna göre bu deneyimizin ihtimal dağılım fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

· p(0.36)=2, p(0.48)=1, p(0.16)=0

· p(0.16)=2, p(0.48)=1, p(0.36)=0

· p(2)=0.36, p(1)=0.48, p(0)=0.16

· p(0)=0.36, p(1)=0.48, p(2)=0.16

Cevabı:

x	0	1	2
p(x)	0.16	0.48	0.36

Düzgün bir zarı iki defa atalım. X birinci atışda zarın üstündeki sayıyı göstersin, ve Y de ikinci atışda zarın üzerindeki sayıyı gösterin. Z = (X - Y)² olsun. Aşağıdakilerden hangisi z nin ihtimal dağılım fonksiyonudur?

· p(X=1)=1/6, p(X=2)=1/6, p(X=3)=1/6, p(X=4)=1/6, p(X=5)=1/6, p(X=6)=1/6

· p(Z=0)=1/6, p(Z=1)=1/6, p(Z=2)=1/6, p(Z=3)=1/6, p(Z=4)=1/6, p(Z=5)=1/6

· p(Z=0)=1/6, p(Z=1)=1/6, p(Z=4)=1/6, p(Z=9)=1/6, p(Z=16)=1/6, p(Z=25)=1/6

· p(Z=0)=1/6, p(Z=1)=10/36, p(Z=4)=8/36, p(Z=9)=6/36, p(Z=16)=4/36, p(Z=25)=2/36

· p(Z=0)=1/6, p(Z=1)=10/6, p(Z=4)=8/6, p(Z=9)=6/6, p(Z=16)=4/6, p(Z=25)=2/6

· p(Z=0)=1/36, p(Z=1)=1/36, p(Z=2)=1/36, p(Z=3)=1/36, p(Z=4)=1/36, p(Z=5)=1/36

İhtimal dağılım fonksiyonunun en önemli özelliği tanımlanan rastgele değişkeninin tüm ihtimalleri toplamları 1 dir. Bu gerçek çoğu zaman eksik olan bir ihtimali tesbit etmemizi sağlar.

Bir rastgele değişkenin 1 den 4 e kadar değerler aldığını düşünelim. p(X=1) = 0.1 ve p(X=2)=p(X=3)=p(X=4), p(X=4)?.

· 0.1

· 0.2

· 0.3

· 0.4

· 0.5

· 0.6

· 0.7

· 0.8

· 0.9

Birçok rastgele değişken in ihtimalleri binom dağılımı özelliği gösterir. Bu dağılım deney sonucu iki katagoriye indirgenebiliyorsa, başari ve başarisizlik gibi başarı ihtimali (p) sürekli sabit ise geçerlidir. Mesela n denemeden x başarıyı herbir başarının gerçekleşme ihtimali p ise biz b(x;n,p) seklinde gösteririz.

Uyarılar:

1. Denemelerin ne olduğunu be başarının ne olduğunu tesbir edin. Başarı tanımı burada tamamen matematiksel bir kavramdır. Biz olumsuz şeyleri bile başarı olarak kabul eder ve onu başarı diye sayabiliriz.

2. Deneme sayisi yani n I belirleyiniz.

3. Bir deneme için başarı ihtimali olan p yi tesbir ediniz.

4. soruyu b(x;n,p) cinsinde formule et. Bu basamak genelde sorunun çözümü için gerekli olan x leri tesbit etmekden ibarettir.

5. Sonra tablo veya hesap makinası yardımı ile hesaplayacağız

5 şıklı10 soruluk coktan seçmeli bir testi alan bir öğrenci sorulardan 5 ini doğru yaptiktan sonra geri kalanlarını rastgele işaretliyecektir. Bu öğrencinin tam 8 soruya doğru cevap verme ihtimali kaçtır?

· b(8;0.5,10)

· b(8;10,0.5)

· b(8;0.2,10)

· b(8;10,0.2)

· b(3;0.5,5)

· b(3;5,0.5)

· b(3;0.2,10)

· b(3;10,0.2)

· b(3;0.2,5)

· b(3;5,0.2)

Ali okuldan grip virüsü kapmiştır. Ali hafta sonu evine gitmektedir. Hafta sonu Ali nin kendinden küçük 5 kardeşten her birine vizüsü bulaştırma ihtimali 0,4 ise en fazla 1 kardeşine virüz bulaşma ihtimali kaçtır?

· b(1;5,0.4)

· b(0;5,0.4) + b(1;5,0.4)

· 1-(b(0;5,0.4) + b(1;5,0.4))

· b(0;5,0.6) + b(1;5,0.6)

8 tane düzgün madeni para havaya atılıyor. Madeni paraların tura gelmesi sayısı yazi gelmesi sayısından fazla olmasi ihtimali kaçtır?

• b(0;8,0.5)
• b(0;8,0.5) + b(1;8,0.5)
• b(0;8,0.5) + b(1;8,0.5) + b(2;8,0.5)
• b(0;8,0.5) + b(1;8,0.5) + b(2;8,0.5) + b(3;8,0.5)
• b(0;8,0.5) + b(1;8,0.5) + b(2;8,0.5) + b(3;8,0.5) + b(4;8,0.5)
• b(0;8,0.5) + b(1;8,0.5) + b(2;8,0.5) + b(3;8,0.5) + b(4;8,0.5) + b(5;8,0.5)

test de başarılar!!!