MATE 251 İÇİN ÖDEV SAYFASI
4. Bölüm
İhtimal Hesabına Giriş
4.2 Olaylar ve
İhtimalleri
Olay: Örnek uzayın
herhangi bir alt kümesine olay denir
Olayın İhtimali: Olayın
içerisindeki herbir noktanın ihtimalleri toplamı bir olayın ihtimalidir.
İhtimal Axiyomları
Örnek Uzay 
de verilen 
olayı sonlu 
elemanlıdır veya sonsuz 
ama sayılabilen elemanlıdır. Dolayısı ile
aşağıdaki gibi yazabiliriz.
|
|
büyüklüğüne aşağıdaki şartları sağlalıyorsa 
olayının ihtimali denir.
1. 
.
2. 
.
3. Toplama: 
,
ve 
ayrık
olaylar ise.
4. Sayılabilen kümelerde: 
,
2, ..., için öyleki , ,
...ler ayrık olaylar yani (
).
Şartlı İhtimal
İhtimaline 
olayı verildiğinde 
olayının ihtimali denir.
|
|
(1) |
Venn Diyagramı yardımı ile
ispatlanabilinir.
|
|
(2) |
(2) yi tekrar düzenlersek
|
|
(3) |
(3) ün
çözümünden 
de
ilave edersek (2) nin yardımı ile
|
|
Bayes’ Teoremi
ve 
ler kümeler olsun. Şartlı ihtimal
aşağıdakileri gerektirir.
|
|
(1) |
kesişim demek ("ve"), ve dahi
|
|
(2) |
böylece,
|
|
(3) |
Şimdi
|
|
(4) |
bir olay ve ve 
için, ohalde
|
|
(5) |
|
|
(6) |
Bu aşağıdaki gibide
yazılabilinir.
|
|
(7) |
böylece
|
|
Aktiviteler
Şartlı
İhtimal - Bayes' teorem tipi problemler
Şartı İhtimal daha
önceden bildiğimiz bir olayın sonucundan hareketle sonradan olacak olayin
sonucunu bulma işlemidir. Bu tip problemler benzer problemlerdir ve Bayes' teorem i yardımı ile çözülür.
Bayes' teoremi ile
çözmek yerine daha basit olan 
formülle
çözeceğiz.
|
İkinci top kırmızı ise çekilen ilk topun
yeşil oluş olma ihtimali kaçtır? |
|
A
= {ilk top yeşil} and B = {ikinci top kırmızı}
kırmızı=red :yeşil=green
|
|
Bu
problemin basit yolla çözümüde var.:
İkinci top kırmızı ise birinci top için geriye kalan dört top için 3 yeşil ve 1
kırmızı toptan yeşil seçmek 4 de bir ihtimaldir. yani 3/4.
|
Bazı problemleri bu basit yaklaşımla
çözmek herzaman mümkün olmayabilir. Bunun için torbaya 1 sarı top ilave
edelim ve tekrar yerine koymaksızın
iki seçim yapalım. Toplar farklı renkli ise, toplardan birinin
yeşil olması ıhtımalı nedir? |
|
A = {toplardan
birinin yeşil olması} ve B = {farklı renkli olması} G=yeşil Y=Sarı R=kırmızı
olsun
|
Ayşe |
|
, Fatma 
ve Mehmet 
What is the probability that:
- İki
kızın hedefi vurduğu biliniyorsa Ayşenin hedefi vurma ihtimali kaçtır?
- Ayşe
hedefi vurdu ise tam iki kızın hedefi vurma ihtimali kaçtır?
- En
az iki kızın hedefi vurduğu biliniyorsa Fatmanın hedefi vurma ihtimali
kaçtır?
- Fatmanın
hedefi vurduğu biliniyorsa en az iki kızın hedefi vurma ihtimali kaçtır?
Şartı
İhtimal İçin Sorular
1. A
olayının olması ihtimali 0.63. B Olayının olmasi ihtimali 0,45. İki A ve B
olaylarının aynı anda olması ihtimali 0,18. Aşağıdakileri hesaplayın:
A) P(A\B)
B) P(B\A)
2. A
olayının olması ihtimali 0.81. B olayının olması ihtimali 0,68. İki A ve
B olaylarının aynı anda olması ihtimali 0,22. Aşağıdakileri hesaplayın:
A) P(A\B)
B) P(B\A)
3. İki düzgün
zar aynı anda atılıyor. Zarların toplamının 10 gelmesi ihtimali kaçtır?
verilenler:
A) Hiç bir bilgi verilmiyor.
B) zarlardan birinin 6 gelmesi durumunda
C) zarlarin aynı sayı gelmesi durumunda
4. Bir
deste oyun kartından bir kart rastgele seçiliyor. Kartın 7 den azgelmesi
ihtimali kaçtır? Verilenler:
A) Hiç bir bilgi verilmiyor
B) Kart 2 değil
C) Kart kalp dir
D) Kart 3 veya 4 dür.
5. Bir
madeni para 3 kere atılıyor. En az bir kere tura gelmesi ihtimali kaçtır.
Verilenler:
A) Hiç bir bilgi verilmiyor
B) Üç paranında aynı yüzü geliyorsa
C) Yazı en fazla bir kere geldi ise
D) Üçüncü atış da tura geliyorsa
E) Tura en az bir kere geldi ise
6.
Küçük bir kasabada insanlar dini, etnik olarak aşağıdaki gibi
sınıflandırılmıştır.C, B, I, ve S sirası ile Katolik, Baptist, İtalyan ,
İspanyol a işaret etsin.
|
Din/Etnik
Köken |
İtalyan |
İspanyol |
Toplam |
|
Katolik |
145 |
122 |
267 |
|
Baptiss |
111 |
225 |
336 |
|
Toplam |
256 |
347 |
603 |
Aşağıdaki
ihtimalleri bulunuz:
A) P(B)
B) P(C\I)
C) P(S\B)
D) P(I\C)
7. Küçük
bir kasabada aşağıdaki tablo insanları cinsiyet ve eğitim durumlarına göre
sınıflandırmıştır. M, W, P, B ve H sirası ile şu olaylara karşı gelsin Erkek
Olmaya, Kadın Olmaya, Doktora Derecesine, Lisans veya lisans üstü decesine ve Lise Diplomasına sahip olma olaylarına
karşılık gelsin.
|
|
Doktora |
Lisans veya Lisans
üstü |
Lise
Diploması |
Toplam |
|
Erkekler |
72 |
52 |
83 |
207 |
|
Kadınlar |
75 |
91 |
102 |
268 |
|
TOPLAM |
147 |
143 |
185 |
475 |
Rastgele bir vatandaş seçiliyor.
Aşağıdaki ihtimalleri hesaplayınız:
A) Vatandaşın kadın olması ihtimali?
B) Erkek olması ihtimali?
C) Lise diplomasına sahip olması ihtimali?
D) Doktorası varsa erkek olması ihtimali?
E) Yüksek Lisansi varsa Erkek olması ihtimali?
F) Yüksek lisansı varsa kadın olması ihtimali?
8. Bir
ailenin 3 çocuğu vardır. En fazla bir kız çocuğu varsa bu ailenin 2 oğlan
çocuğa sahip olması ihtimali kaçtır?
9. Bir
ailenin 3 çocuğu vardır. Çoculardan en az birisi oğlan çocuğu ise bir oğlan
çocuğuna sahip olma ihtimali kaçtır?
Cevaplar
1A) .4
1B) .29
2A) .32
2B) .27
3A) 1/3 or .33
3B) .45
3C) .17
4A) .38
4B) .33
4C) .38
4D) 1
5A) .88
5B) .5
5C) .75
5D) .75
5E) .86
6A) .56
6B) .57
6C) .67
6D) .54
7A) P(W)= .56
7B) P(M)= .44
7C) P(H) = .39
7D) P(M\P) = .49
7E) P(B\M) = .25
7F) P(W\B) = .64
8) .75
9) .43
Bayes’ Teoremi
1) An auto insurance company charges
younger drivers a higher premium than it does older drivers because younger
drivers as a group tend to have more accidents.
The company has 3 age groups: Group A includes those under 25 years old,
22% of all its policyholders. Group B
includes those 25-39 years old, 43% of all its policyholders, Group C includes
those 40 years old and older. Company records
show that in any given one-year period, 11% of its Group A policyholders have
an accident. The percentages for groups
B and C are 3% and 2%, respectively.
a)
What percent of the company’s policyholders are expected to have an accident
during the next 12 months?
b) Suppose Mr. X has just
had a car accident. If he is one of the
company’s policyholders, what is the probability that he is under 25?
Say that this company not only
classifies drivers by age, but in the case of drivers under 25 years old, it
also notes whether they have had a driver’s education course. One quarter of its policyholders under 25
have had a drivers education course and 5% of these have an accident in a
one-year period. Of those under 25 who have not had a driver’s education
course, 13% have an accident within a one-year period. A 20-year-old woman takes out a policy with
this company and within one year she as an accident. What is the probability that she did not have a driver’s education course?
2) A medical research lab proposes a
screening test for a disease. To try out
this test, it is given to 100 people, 60 of whom are known to have the disease
and 40 of whom are known not to have the disease. A positive test indicates the disease and a
negative test indicates no disease.
Unfortunately, such medical tests can produce two kinds of errors:
1)
A false negative test: For the 60 people
who do have the disease, this screening indicates that 2 do not have it.
2) A false positive
test: For the 40 people who do not have
the disease, this screening test indicates that 10 do have it.
a) Which of
the false tests do you think is more serious and why?
b)
Incorporate the facts given above into a tree diagram. (Be sure to convert the given integers into
probabilities.)
c)
Suppose the test is given to a person whose disease status is unknown. If the test result is negative, what is the
probability that the person does not have the disease?