Kepler'den Newton'a
Giriş ve tarihsel arka plan
Eskiler fiziği astronomi ve tıp olmak üzere iki ana bölüme ayırmışlar. Her ne kadar tıbbın gelişmesi insanlar için daha acil ve gerekliymiş gibi görünse de, tarihsel olarak bakıldığında astronominin gelişmesi daha önce ve daha hızlı gerçekleşmiştir. Bunda eski medeniyetlerin birer tarım toplumu olmaları ve çiftçilerin tohumlama, sulama ve mahsul kaldırma gibi işlerde bir zamanlayıcıya ihtiyaç duymaları ve hemen hemen periyodik olarak hareket eden gök cisimlerinin o toplumlara takvimlerin düzenlenmesindeki rehberliği büyük rol oynamıştır. Ayrıca eski toplumların gök cisimlerine tapmaları ve insanların evrendeki yerlerini (ve dolayısıyla kimliklerini) bulmak istemeleri, astronominin gelişmesinde ikincil etmenler olarak sayılabilir. İstisnasız her medeniyetin mensupları gök cisimlerinin hareketine dair gözlemler yapmış, tablolar oluşturmuş ve teoriler üretmiştir. Eski (antik) Batlamyusçu teorilerin ortak özelliği dünya merkezli bir evren modelini benimsemiş olmalarıdır. Bu modele göre dünya evrenin merkezinde durmakta ve diğer gök cisimleri onun etrafında hareket etmektedirler.
Özünü koruyarak hristiyanlığın içine de giren antik modelin yıkılması kilise tarafından da savunulduğu için epey zor olmuştur. Eski görüşe (ve kiliseye) gelen ilk ciddi itiraz Polonyalı Copernicus'tandır. Copernicus, güneş sistemindeki gezegenlerin yörüngelerini incelemiş ve güneş sistemi hakkında kilise doktrinine temelden ters düşecek şekilde dünyanın merkezde değil, güneşin merkezde olduğunu savunmuştur. Copernicus'tan sonra, gözleme dayalı verileri Kepler tahlil etmiş ve sonuçlarını üç madde halinde Kepler Kanunları olarak yayınlamıştır. Kepler'den 60 yıl sonra Newton, Tabiat Felsefesinin Matematiksel İlkeleri [1] adlı kitabında hareket kanunları olarak bilinen üç kanun yayınlamıştır. Biz bu modülde, Kepler'in gezegenlere ve Newton'ın harekete dair kanunlarını kullanarak evrensel bir kütle çekim yasasına didaktif bir şekilde ulaşmaya çalışacağız. Bu işin tersi, yani Newton'ın hareket kanunları ile genel çekim kanununun Kepler kanunlarını gerektirdiği, Isaac Newton tarafından gösterilmiştir.
Kanunlar ve implikasyonları
Bu bölümde Kepler ve Newton kanunlarının ifadelerini vererek her birisinin implikasyonları üzerinde duracağız. Öncelikle Kepler'in birinci kanunundan başlayalım.
Kepler 1: Her gezegenin yörüngesi odaklarından birisinde güneşin bulunduğu bir elipstir.Bu kanunun doğru anlaşılması ve doğru kullanılması için öncelikle elips ve odak kavramlarının bilinmesi gerekiyor. Eğrilerin, konik kesitler [2] ailesine mensup olan elipsin işimize en çok yarayacak tanımı şu şekildedir.
Tanım: Düzlem üzerinde, iki sabit noktaya uzaklıkları toplamı eşit olan noktaların oluşturduğu şekile elips, sabit noktalara da odaklar denir.
Bu tanımla birlikte Kepler'in birinci kanununu yorumlayabiliriz. Birinci kanun (1) hareketin bir düzlemde kısıtlı kaldığını ve (2) yörüngenin kapalı bir eğri [3] olduğunu söylemektedir. (3) Ayrıca ne güneş ne de dünya sistemin merkezinde değildir.
Eşit alanlar kanunu olarak da bilinen Kepler'in ikinci kanunu ise şu şekildedir.
Kepler 2: Gezegeni ve güneşi birleştiren doğru parçası, eşit zaman aralıklarında eşit alanları süpürür.Bu kanunu yorumlamak için biraz geometri ve analiz gerekiyor. \(t\) anında gezegenin koordinatları \(r(t)\) ve \(\theta(t)\) ile verilsin ve \(t+\Delta t\) anında gezegen \(r(t+\Delta t)\) ve \(\theta(t+\Delta t)\) konumuna ilerlesin. \(\Delta \theta(t) := \theta(t+\Delta t)-\theta(t)\) niceliğini tanımlayalım. Bu süre zarfında gezegenin süpürdüğü alan sinüs teoremi ve Taylor serileri kullanılarak \[ A(t+\Delta t) - A(t) = \frac{1}{2}r(t) r(t+\Delta t)\sin (\Delta \theta(t)) = \frac{1}{2}r^{2}(t) \Delta \theta(t) + \frac{1}{2}r(t)\dot{r}(t) \Delta t \Delta \theta (t) + \cdots \] elde edilir. Her iki taraf \(\Delta t\) ile bölünür ve \(\Delta t \to 0 \) limiti alınırsa, Kepler'in ikinci kanunu matematiksel ifadesini \[ \dot{A}(t) = \frac{1}{2}r^{2}(t)\dot{\theta}(t) = {\rm sabit}\] bulur. Demek ki eşit alanlar kanunu, gezegenlerin hareketi esnasında \(r^{2}(t)\dot{\theta}(t)\) niceliğinin korunmasını gerektirmektedir. Aslında bu sonuç sadece gezegenlerin hareketine özgü olmayıp, merkezi kuvvet altında hareket eden iki cisimli bütün sistemler için geçerlidir, Newton'ın hareket kanunlarından da türetilebilir ve açısal momentumun korunumu olarak bilinir. Şimdi Newton'ın ikinci ve üçüncü kanununlarını kullanarak Kepler'in ikinci kanununu ispatlayalım. Öncelikle ikinci ve üçüncü kanunları hatırlayalım:
Newton 2: Hareketin değişimi etki eden kuvvete eşittir ve kuvvetin doğrultusu ile aynı yöndedir.Burada Newton'ın
Newton 3: Her etkiye karşı eşit miktarda bir tepki vardır; diğer bir ifadeyle iki cisimin birbirlerine olan etkileri her zaman eşit ve zıt doğrultulara yönelmiştir.
hareketdediği şeye biz momentum diyoruz. Newton'ın ikinci kanunu matematiksel ifadesini \(\dot{\mathbf p} = {\mathbf F}\) veya \({\mathbf a}= \frac{1}{m}{\mathbf F}\) denkleminde bulur. Şimdi bu kanunu dünya-güneş sistemine uygulamak amacıyla kütleleri \(m_{1}\) ve \(m_{2}\) olan iki cisimin konum vektörlerini \({\mathbf r}_{1}\) ve \({\mathbf r}_{2}\) ile tanımlayalım. Birinci cisime etki eden kuvvet \({\mathbf F}\) ise, ikinci cisime etki eden kuvvet (Newton'ın üçüncü kanunu gereği) \(-{\mathbf F}\) olur. Hareket denklemleri de \[ \ddot{\mathbf r}_{1} = \frac{1}{m_{1}}{\mathbf F} \ \ {\rm ve} \ \ \ddot{\mathbf r}_{2} = -\frac{1}{m_{2}}{\mathbf F} \] olarak verilir. Her ne kadar problemi \({\mathbf r}_{1}\) ve \({\mathbf r}_{2}\) koordinatlarında çalışmak mümkünse de avantajlı değildir. Bunların yerine ağırlık merkezi (ya da kütle merkezi) \[ {\mathbf R} := \frac{m_{1}}{M} {\mathbf r}_{1} + \frac{m_{2}}{M} {\mathbf r}_{2},\ \ M:=m_{1}+m_{2}, \] ve fark koordinatlarını \( {\mathbf r} := {\mathbf r}_{1} - {\mathbf r}_{2} \) kullanmak daha avantajlıdır. Bu koordinatlarda hareket denklemleri çok kolay bir şekilde \( \ddot{\mathbf R}=0 \) ve \( \ddot{\mathbf r}=\frac{1}{\mu}{\mathbf F} \) bulunur. Burada indirgenmiş kütlenin tanımı \(\mu^{-1} := m_{1}^{-1}+m_{2}^{-1} \) şeklindedir. Ağırlık merkezi ve fark koordinatlarına geçişin avantajını hemen not edelim: \(\ddot{\mathbf R}=0\) olduğundan kütle merkezi sabit hızda ve doğrultusunu değiştirmeden yoluna devam eder [4]. Dolayısıyla problemin çözümü \( \ddot{\mathbf r}=\frac{1}{\mu}{\mathbf F} \) denkleminin çözümüne indirgenmiştir. Fark vektörünün kutuplu koordinatlardaki ifadesi \[ {\mathbf r} = r( {\mathbf i}\cos\theta + {\mathbf j}\sin\theta ) \] şeklindedir ve Kepler kanunlarına uygun olan koordinatlar da aslında \(r\) yarıçap ve \(\theta\) açı koordinatlarıdır. Çözümlememize devam etmeden önce bir varsayımı ifade etmemiz gerekiyor.
Merkezi Kuvvet Varsayımı: Etkiye tepki prensibine ek olarak, parçacıklar arasındaki kuvvet bu parçacıkları birleştiren çizgiyle aynı doğrultudadır ve şiddeti sadece aradaki mesafeye bağlıdır.O zaman \({\mathbf F} := f(r){\mathbf r}\) diyebiliriz. \({\mathbf r}\) vektörünün iki defa zamana göre türevi alınır ve çıkan sonuç hareket denkleminde yerine konursa \[ \left\{\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2}- \frac{rf(r)}{\mu} \right\} ({\mathbf i}\cos\theta + {\mathbf j}\sin\theta) + \left\{ r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta} \right\} (-{\mathbf i}\sin\theta + {\mathbf j}\cos\theta) = 0 \] sonucu elde edilir. \(({\mathbf i}\cos\theta + {\mathbf j}\sin\theta)\) vektörü ile \((-{\mathbf i}\sin\theta + {\mathbf j}\cos\theta)\) vektörü birbirlerine dik olduklarından bu denklem katsayıların sıfır olması durumunda geçerlidir ki bu da bizim kutuplu koordinatlarda aradığımız hareket denklemlerini verir. Sonuç \[\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2}- \frac{rf(r)}{\mu}=0\] ve \[r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}=0.\] Son denklem \(r\) (integral faktörü) [5] ile çarpılırsa \[ \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}(r^{2}\dot{\theta})=0 \ \Rightarrow \ r^{2}\dot{\theta} =: k = {\rm sabit}\] olduğu görülür. Kepler'in ikinci kanununun aslında Newton'ın kanunlarından türetilebildiği ve sadece gezegenlerin hareketinde değil Merkezi Kuvvet Varsayımını sağlayan her kuvvet kanunu için geçerli olduğu sonucu çıkar.
Peki bu sonuçlarla genel çekim kanununa, diğer bir ifadeyle \(f(r)\) fonksiyonuna ulaşmak mümkün müdür? Bu soruya cevap verebilmek amacıyla \(r\) için yazılan hareket denklemini, Kepler'in ikinci kanununu kullanarak yeniden düzenleyelim: \[ \ddot{r} = \frac{k^{2}}{r^{3}} + \frac{rf(r)}{\mu} \] Bu denklem \(f(r)\) fonksiyonunu bulmamız için yeterli değil. \(\ddot{r}\) ifadesini bulmak için gezegenin bir elips üzerinde hareket ettiği bilgisini kullanalım. Önce birinci türev: \[ \dot{r} = -\frac{a(1-\epsilon^{2})}{(1-\epsilon \cos\theta)^{2}} \epsilon \dot{\theta} \sin\theta = - \frac{k\epsilon}{a(1-\epsilon^{2})}\sin\theta \] Son basamakta elipsin tanımını ve Kepler'in ikinci kanununu kullandık. Tamamen aynı yöntemler kullanılarak ikinci türev de alınabilir. Sonuç \[ \ddot{r} = -\frac{k\epsilon}{a(1-\epsilon^{2})}\dot{\theta}\cos\theta = \frac{k^{2}}{r^{3}} - \frac{k^{2}/a(1-\epsilon^{2})}{r^{2}} \] şeklindedir. Bu sonuçlarla artık \[f(r) = -\frac{\mu k^{2}}{a(1-\epsilon^{2})} \frac{1}{r^{3}}\]
olduğu rahatça gösterilebilir ki bu da aradığımız genel çekim kanununun matematiksel formudur. \( \mu k^{2} / a(1-\epsilon^{2}) > 0 \) olduğundan, genel çekim kuvveti \(-{\mathbf r}/r^{3}\) ile orantılıdır ve her zaman çekicidir.Görüldüğü gibi sadece Kepler'in ilk iki kanununu kullanarak genel çekim kuvvetinin matematiksel formunu \(-\)bazı sabitlere kadar\(-\) bulmak mümkündür. Lakin burada bulunan \(k, a,\) ve \( \epsilon \) gibi sabitler, yörüngeye bağlı olduğundan, kuvvet kanunu evrensellikten uzakmış gibi görünüyor. Acaba genel çekim kanununu daha evrensel bir forma indirgemek mümkün mü? Bunun için Kepler'in üçüncü kanununu kullanalım.
Kepler 3: Gezegenin periyodunun karesi yörüngenin ana ekseninin küpü ile orantılıdır ve bu orantı sabiti bütün gezegenler için aynıdır.Gezegenin periyoduna \(T\) dersek, üçüncü kanun bize \(T^{2}/a^{3}=K\) gibi bir sabite eşit olduğunu ve bu sabitin güneş sistemindeki bütün gezegenler için aynı olduğunu söylüyor. Öncelikle yörüngenin periyodunu hesaplayalım. \(\theta\) açısı \([0,2\pi)\) aralığında değiştiğinde gezegen bir yılını tamamlamış olacaktır. Kepler'in ikinci kanunundan faydalanarak \[ {\rm d}t = \frac{1}{k} r^{2}{\rm d}\theta \] diferansiyeller arasındaki ilişkiyi elde ederiz. Her iki tarafın integrali alınırsa \[ T = \frac{1}{k}\int_{0}^{2\pi} r^{2} {\rm d}\theta \] bulunur. Ama bu denklemin sağ tarafındaki integral yörüngenin çevrelediği alana \(-\) daha doğrusu iki katına\(-\) eşittir! Dolayısıyla \(T = 2\pi a b /k \) ve \[ K = \frac{T^{2}}{a^{3}} = \frac{4\pi^{2}a(1-e^{2})}{k^{2}} \] bulunur. Buradan da genel çekim kuvvetini daha evrensel bir şekilde \[ f(r) = - \frac{4 \pi^{2} \mu}{K} \frac{1}{r^{3}} \] yeniden düzenlemek mümkündür. Bu sonuçta yörüngeye ait bir parametre olmadığından, kuvvet kanununun bu formunun daha evrensel olduğunu iddia edebiliriz.
Sonuç
Biz bu modülde Newton'ın hareket kanunlarını ve Kepler kanunlarını kullanarak, evrensel bir gravitasyon kanununa \(-\)merkezi kuvvet varsayımıyla\(-\) didaktif bir şekilde ulaşılabileceğini kanıtladık. Bulduğumuz bu sonuç her ne kadar alışık olduğumuz \[ f(r) = -GMm\frac{1}{r^{3}} \] denkleminden farklıysa da, kuvvetin uzaklıkla değişimini doğru bir şekilde vermektedir. Ayrıca bu modül, genel çekim kanununun tarihin akışı göz önüne alındıgında aslında dogal ve mantıksal bir zemini oldugunu ve aksiyomatik bir tarzda sunulmadan da kendisine mekanik içerisinde bir yer edindigini göstermektedir.
Kepler kanunları tahlil edilirse kimsenin başına elma düşmesine gerek kalmaz!
Notlar ve literatür:
[1] Isaac Newton ve onun Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Tabiat Felsefesinin Matematiksel Temelleri) adlı kitabı hakkında çok fazla söze hacet yoktur. Newton bu çalışmasında hareket kanunlarını ve klasik mekaniğin temellerini ortaya koymuş, kendi adıyla bilinen genel çekim kanununu ifade etmiş ve Kepler kanunlarının kendi kanunlarından ispatlanabildiğini göstermiştir. Newton her ne kadar İngiltere'de analizin mucidi olarak kabul edilse de kitabında analiz yerine geometrik bir dil kullanmıştır. Kitabın Latince ilk baskısı ve İngilizce çevirisi internette bulunabilir.[2] Konik kesitlere ait ilk ve en kapsamlı çalışma elips, parabol ve hiperbol gibi eğrilerin adını koyan Pergalı Apollonius'a aittir. Bu kitabın İngilizce çevirisi modern notasyonla Thomas L. Heath tarafından yapılmıştır. Apollonius'un diğer çalışmalarından bazıları Yunanca, Arapça ve Latince olarak günümüze kadar ulaşmıştır.
[3] Kapalı yörüngeler meselesi bizim burada değindiğimizden daha karışıktır. Bütün çekici merkezi kuvvet kanunlarında, "merkezkaç kuvveti" ile çekim kuvveti arasında denge olduğunda dairesel bir yörünge gözlenebilir. Ancak, kararlı ve kapalı yörüngeler sadece ve sadece Kepler problemi \(V(r) = -\kappa /r \) ile izotropik basit harmonik sarkaç problemine \( V(r) = \eta r^{2}\) mahsustur. Bu ifade klasik mekanikte Bertrand'ın teoremi olarak bilinir.
[4] Bu arada hemen belirtelim ki bu aslında Newton'ın birinci kanunundan (eylemsizlik) başka bir şey değildir. Modülün ana metininde bu kanuna yer vermedik. Çünkü, matematiksel olarak düşünüldüğünde ikinci kanun, birinci kanunu gerektirmektedir ve dolayısıyla birinci kanun "lüzumsuzdur."
[5] H. N. Jahnke'nin verdiği bilgiye göre integral faktörü tekniği Leibniz'in öğrencisi ve Euler'in hocası olan Johann Bernoulli tarafından icat edilmiştir. Teknik genel olarak birinci dereceden doğrusal diferansiyel denklemlerin çözümünü kolaylaştırmakta kullanılır. Tekniğin tarifi ve örnekler için tıkla.