Bir boyutlu kutuda dalga paketi: periyodik hareketin ilk çeyreği

Sistemin tanımı
Hamilton işlemcisi: \[H:=- \frac{\hbar^{2}}{2M}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}},\ 0 \le x \le L. \] Özfonksiyonlar ve özdeğerler: \[\phi_{n}(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin(n\pi x/L), \ E_{n} = \frac{n^{2}\hbar^{2}\pi^{2}}{2ML^{2}}. \] Başlangıç durumu: \[ \Psi(x,0) = A\exp(-(x-x_{0})^{2}/\sigma^{2}) \] Burada \(x_{0} = L/2\) ve \(\sigma = L/10\) olarak alınmış olup, \(A\) normalizasyon veya birleme sabitidir.
Sayılar: \(L = M = \hbar = 1.\)
Yorumlar
1. \(\Psi(x,0)\) fonksiyonu \(x = L/2\) eksenine göre simetriktir. Bu simetri, \(\Psi(x,t)\) fonksiyonunun hem sanal hem de gerçel kısımlarında korunmaktadır. Dolayısıyla, \(P(x,t) := \Psi^{*}(x,t)\Psi(x,t)\) ihtimal yoğunluğu da simetriktir.
2. Sistemin korelasyon fonksiyonuna bakıldığında, \(t = 0,318\) anında \(\Im[C(t)] = -1\), \(t = 0,637\) anında \(\Re[C(t)] = -1\), \(t = 0,955\) anında \(\Im[C(t)] = 1\) ve \(t = 1,273\) anında \(\Re[C(t)] = 1\) değerlerinin alındığı görülmektedir. \(\Re[C(t)] = 1\) olması, sistemin tam periyodik olduğu anlamına gelir. Bu değerin \(t = 1,273 = 4/\pi\) anında gerçekleşmesi tesadüf değildir. \(\Psi(x,t)\) fonksiyonunun zaman içindeki ilerlemesine bakıldığında \[ \Psi(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\exp(-itE_{n}/\hbar)\phi_{n}(x), \] fonksiyonun zamana göre değişiminin \(\exp(-itE_{n}/\hbar)\) karmaşık üstelleriyle verildiği görülür. Bu karmaşık üstellerin birbirlerine oranları rasyonel olduğunda \(\Psi(x,t)\) fonksiyonu periyodiktir ve periyodu karmaşık üstellerin OKEK'leri ile verilir.

Notlar ve literatür:

[1] Kutuda taneciğin periyodikliği, temel olarak Lissajous eğrilerinin periyodikliği ile aynı nedene dayanır.
[2] Kutuda tanecik gibi temel bir probleminin evrimleştiricisi ileri literatürde incelenmiştir. S. A. Fulling ve K. S. Güntürk, Am. J. Phys. 71, 55 (2003). Bu makalenin içeriği yazarların sayfasından da inidirilebilir.
[3] Kutuda taneciğin ilerleticisi ile ilgili en eski referans, konunun basitliği düşünüldüğünde, şaşırtıcı derecede gecikmiştir. T. Hannesson ve S. M. Blinder, Il Nuovo Cimento B, 79, 284 (1984).
[4] Dalga paketinin periyodikliği kadar kesirli yeniden canlanması da araştırmacıların ilgisini çekmişe benziyor. I. Sh. Averbukh ve N. F. Perelman, Phys. Lett. A, 139, 449 (1989).